Embedded Files
Diagonalen
Diagonalen
In de wiskunde maken we regelmatig gebruik van diagonalen. Een diagonaal is een lijn tussen twee punten in een vlak waarvan de punten geen buren zijn. In een vierkant ABCD (zie figuur) zijn A en B buren en zijn ook A en D buren. A en C zijn geen buren. De lijn AC is dan een diagonaal van vierkant ABCD. Ook de lijn BD is een diagonaal.
Feitje: in een vierkant staan naast alle zijden ook alle diagonalen loodrecht op elkaar.
Bron afbeelding.
Vlakke figuren
Vlakke figuren
De stelling van Pythagoras kun je in veel meer figuren gebruiken dan alleen rechthoekige driehoeken. Dat is alleen niet altijd even gemakkelijk te zien. Daarom is het handig om hulplijntjes te tekenen.
Hoe je hulplijntjes kunt zetten en wanneer je de stelling van Pythagoras nog meer kunt gebruiken, is te zien in de volgende video.
Voorbeeld vlakke figuren
Voorbeeld vlakke figuren
Hiernaast zie je een gelijkzijdige driehoek met zijden 10. Uit het omgekeerde van de stelling van Pythagoras blijkt dat dit geen rechthoekige driehoek is, want 10² + 10² = 200 en 10² = 100. Dus 10² + 10² is ongelijk aan 10². De hoogte van de driehoek is dus niet een van de zijden van de driehoek. Bereken de hoogte van de driehoek, aangegeven met letter h.
Door een slimme hulplijn te tekenen, creëren we twee rechthoekige driehoeken. In dit geval is dat de hoogtelijn uit de top van de driehoek. Van beide ontstane driehoeken zijn twee zijden bekend: de schuine zijde en één rechthoekszijde (deze moet je eerst nog even berekenen). Met behulp van deze gegevens kunnen we hoogte h berekenen.
- a = 5 cm
- b = ?
- c = 10 cm
Dan volgt: b² = c² - a². Dus b² = 10² - 5² = 100 - 25 = 75. Trek hieruit de wortel en dan weten we dat b=√75.
De hoogte h van de driehoek is dus √75.
Lichaamsdiagonalen
Lichaamsdiagonalen
Een diagonaal kan ook voorkomen in een driedimensionaal figuur. Dit noemen we dan een lichaamsdiagonaal. Een lichaamsdiagonaal is een lijn tussen twee hoekpunten die niet in een zijvlak van een figuur ligt. In kubus ABCD.EFGH (zie figuur) is een lijn AC dus geen diagonaal, omdat deze lijn zich in het zijvlak van het figuur bevindt. Ook lijn AD is geen diagonaal, omdat deze lijn een ribbe is van de kubus. De lijn AG daarentegen is wel een lichaamsdiagonaal: deze gaat dwars door de kubus heen.
Ruimtefiguren
Ruimtefiguren
De stelling van Pythagoras kunnen we niet alleen in tweedimensionale figuren gebruiken, maar ook in driedimensionale figuren. De figuren heten dan ruimtefiguren.
Een veelvoorkomende vraag is het berekenen van de lengte van een lichaamsdiagonaal. Dit kun je doen door twee keer de stelling van Pythagoras toe te passen. Een uitleg hierover zie je in de video hiernaast.
Voorbeeld ruimtefiguren
Voorbeeld ruimtefiguren
Hiernaast zie je kubus ABCD.EFGH. De kubus heeft zijden van 5 cm. Bereken de lengte van lichaamsdiagonaal AG.
Uitwerking: de eerste hulplijn die we nodig hebben, is lijn AC. De lengte van deze lijn kunnen we berekenen door middel van de stelling van Pythagoras. Hieruit volgt dat AC = √(5² + 5²) = √50 (=5√2).
Nu kunnen we AG berekenen. Dit is ook een diagonaal van het vlak ACGE met zijden 5 cm (=AE) en √50 cm (=AC). Lijn AG is dan √(5² + √50²) = √(25+50) = √75.
Note: dit kan ook snel berekend worden door de volgende formule: √(AB² + BC² + CG²) = √(5² + 5² + 5²) = √75
Oefeningen op niveau
Oefeningen op niveau
Nu je alle informatie hebt gehad, kun je gaan oefenen met de leerstof. Je kunt op de oefenpagina diverse oefeningen op verschillende niveaus maken. Ben je het even kwijt? Kijk dan eens bij de samenvatting, wie weet vind je wat je zoekt!
Google Sites
Report abuse